Pages

Kamis, 02 Mei 2013

Dual Problem Operation Research



DUAL PROBLEM

Teori Dualitas

Istilah dualitas menunjukkan pada kenyataan bahwa setiap LP terdiri atas dua bentuk. Bentuk pertama atau bentuk asli dinamakan Primal, sementara bentuk kedua yang berhubungan dinamakan Dual, sehingga suatu solusi terhadap LP yang asli juga  memberikan solusi pada bentuk dualnya. Jadi, jika suatu LP diselesaikan dengan metode simplex, sesungguhnya diperoleh penyelesaian untuk dua masalah LP.           

Kegunaan dual bagi pengambil keputusan adalah bahwa dengan dual mereka dapat melihat alternatif persamaan dari alternatif yang berbeda. Primal akan menghasilkan solusi-solusi dalam bentuk jumlah laba yang di dapat dari memproduksi barang, sedangkan dual akan memberikan informasi mengenai nilai (harga) dari sumber-sumber yang membatasi tercapainya laba.

CONTOH

Perusahaan mebel memproduksi meja dan kursi yang dihitung atas dasar harian. Tiap meja yang diproduksi menghasilkan keuntungan sebesar $160; sedangkan tiap kursi menghasilkan keuntungan sebesar $200. Produksi meja dan kursi ini tergantung pada tersedianya sumber-sumber yang terbatas, tenaga kerja, kayu, dan luas tempat penyimpanan. Kebutuhan sumber-sumber untuk memproduksi meja dan kursi serta jumlah total sumber yang tersedia adalah sebagai berikut.




                       
Kebutuhan Sumber
Sumber
Meja
Kursi
Jumlah yang tersedia/hari

Tenaga kerja
2 jam
4 jam
40   jam
Kayu
18 pon
18 pon
216 pon
Tempat penyimpanan
24 m
12 m
240 m

            Perusahaan ingin mengetahui berapa banyak meja dan kursi yang harus diproduksi untuk memaksimumkan keuntungan.

Model untuk masalah ini diformulasikan sebagai berikut

          Memaksimumkan Z=160 X1+200X2

          Terbatas pada
                   2X1+4X2         £        40         jam tenaga kerja
                  18X1+18X2      £      216         pon kayu
                   24 X1+12 X2   £      240     tempat penyimpanan
         
diketahui
            X1=jumlah meja yang diproduksi
            X2=jumlah kursi yang diproduksi

          Model di atas mewakili model primal. Untuk suatu model maksimisasi primal, bentuk dualnya merupakan suatu model minimisasi. Bentuk dual untuk contoh model ini adalah

          Meminimumkan  Z       = 40 Y1 + 216 Y2 + 240 Y3

          Terbatas pada
                   2 Y1 + 18 Y2 + 24 Y3   ³   160
                   4 Y1 + 18 Y2 + 12 Y3   ³   200







Jika masalah Primal dibandingkan masalah Dual, terlihat beberapa hubungan sebagai berikut:

·         Koefisien fungsi tujuan masalah Primal menjadi konstan sisi kanan masalah Dual. Sebaliknya, konstan sisi kanan Primal menjadi koefisien fungsi tujuan Dual.

·         Tanda pertidak samaan kendala dibalik.

·         Tujuan diubah dari Minimisasi (Maksimisasi) dalam Primal menjadi Maksimisasi (Minimisasi) dalam Dual.

·         Setiap kolom pada Primal berhubungan dengan suatu baris (kendala) dalam Dual. Sehingga banyaknya kendala dual sama dengan banyaknya variabel Primal.

·         Setiap baris (kendala) pada Primal berhubungan dengan suatu kolom dalam Dual. Sehingga ada satu variabel Dual untuk setiap kendala Primal

·         Bentuk Dual dari Dual adalah bentuk Primal.

Solusi Optimal Untuk Masalah Primal Di atas Ditunjukkan Sbb:

Tabel Simplex Primal Optimal
Cj
Varibel Dasar
Kuantitas
160
200
0
0
0
X1 (S1)
X2 (S2)
S1
(Y1)
S2
(Y2)
S3
(Y3)
200
X2
8
0
1
1/2
-1/8
0
160
X1
4
1
0
-1/2
1/9
0
0
S3
48
0
0
6
-2
1

Zj
2.240
160
200
20
20/3
0
Cj - Zj

0
0
-20
-20/3
0









Solusi Optimal Untuk Masalah Dual Di atas Ditunjukkan  S b b:

Tabel Simplex Dual Optimal
Cj
Varibel Dasar
Kuantitas
40
216
240
0
0
Y1 (S1)
Y2
(S2)
Y3 (S3)
S1 (X1)
S2 (X2)
216
Y2
6,67
0
1
2
-1/9
1/18
40
Y1
20
1
0
-6
1/2
-1/2

Zj
2.240
40
216
192
-4
-8
Zj - Cj

0
0
-48
-4
-8


Penggunaan Dual
Manfaat utama dual pada pengambil keputusan terletak pada informasi yang dihasilkan yaitu tentang sumber-sumber model. Seringkali manajer tidak terlalu menaruh perhatian pada laba tetapi lebih pada penggunaan sumber-sumber daripada akumulasi laba.

Solusi dual memberikan informasi kepada manajer mengenai nilai dari sumber-sumber, yang terutama penting dalam pengambilan keputusan untuk menentukan apakah perlu menambah sumber-sumber serta biaya yang harus dikeluarkan untuk tambahan tersebut

Jika keputusan yang diambil adalah untuk menambah sumber-sumber, maka pertanyaan berikutnya adalah, " Bagaimana hal ini akan berdampak pada solusi awal?" Daerah solusi yang fisibel ditentukan oleh nilai-nilai yang membentuk batasan model, dan jika nilai-nalai tersebut diubah, maka besar kemungkinan daerah yang fisibel tersebut juga berubah. Dampak terhadap solusi akibat perubahan model merupakan topik yang diselesaikan dengan analisis sensitifitas





 Materi oleh Ketua Jurusan Manajemen Fakultas Ekonomi dan Bisnis Universitas Brawijaya
Bapak Faturrachman, SE, Msi.






Reaksi:

0 komentar:

Posting Komentar